Matematične metode v fiziki 2: dnevnik vaj

petek, 8. 12. 2017 – vaje, 3 ure: (predvidoma)

• poprava 1. kolokvija
• naloga 3.2.1 iz PDE: električno polje enakomerno nabite (izolatorske) krogle
• izračunali smo ga z Gaussovim zakonom
• pojasnili smo zveze med nablo in Laplaceovim operatorjem
• reševanje s Poissonovo enačbo (Laplace U = rho/epsilon_0) je ostalo za prihodnjič
• naloga 3.2.1: električno polje enakomerno nabite (izolatorske) krogle – nadaljevanje
• potencial smo poiskali še s Poissonovo enačbo (Laplace U = rho/epsilon_0) in prišli do električnega polja z –grad U
• naloga 3.2.2: isto kot prejšnja naloga, a za enakomerno nabito žico; naloga je bila dana za domačo nalogo
• naloga 3.2.3: električno polje v valjastem kondenzatorju
• z Laplaceovo enačbo (z Laplaceom v cilindričnem koordinatnem sistemu) smo najprej poiskali potencial znotraj kondenzatorja
• z gradientom potenciala smo dobili električno polje

• naloga 3.2.4: kondenzator je izpolnjen z dielektrikom; kakšen je temperaturni profil znotraj dielektrika

o povedali smo še, da bi se lahko vprašali tudi, na kateri razdalji od leve plošče temperatura doseže maksimum; vprašanje je še bolj zanimivo za primer, ko leva in desna plošča nista na isti temperaturi

o vprašamo se lahko tudi, kolikšna je najvišja temperatura v uporovni snovi – to dobimo tako, da najprej poiščemo kje ima temperatura ekstrem, nato pa pri tej oddaljenosti poiščemo (ekstremalno) temperaturo

• naloga 3.2.7: človek kot valj z izolacijo; kolikšna je temperatura kože; kako debela mora biti obleka, da človeka ne zebe
• poprava 2. kolokvija: naredili smo 1. nalogo iz div in rot
• naloga 3.2.6: bakrena cev, po kateri teče tok, je zunaj izolirana, znotraj pa teče voda; kolikšna je razlika temperature med notranjim in zunanjim radijem cevi
• naloga 3.2.12: toplotni izviri so enakomerno porazdeljeni znotraj polovice radija Zemlje; poznamo temperaturni gradient na površju in temperaturo; kolikšna je temperatura v središču Zemlje
• domača naloga 3.2.11: gorivni element v obliki valja ima zunanjo steno toplotno izolirano; kolikšna je temperatura na zunanjem plašču elementa (pod izolacijo), če sta notranjost elementa in zunanjost izolacije hlajeni na konstantno temperaturo

petek, 1. 12. 2017 – vaje, 4 ure:

• naloga 3.1.7: pokaži, da je div D = 0 tudi za polje enakomerno nabite žice in ravnine
• z Gaussovim zakonom smo poiskali električno polje enakomerno nabite žice in za pokazali, da je divergenca enaka 0 povsod, razen v r=0
• naloga 3.1.8: pokaži, da je div (r / r ) = 2/r
• naloga je bila dana za domači nalogo
• naloga 3.1.9: pokaži, da velja kontinuitetna enačba za toploto, če vzamemo, da so po notranjosti Zemlje toplotni izviri enakomerno porazdeljeni in da je stanje stacionarno
• najprej smo zapisali kontinuitetno enačbo za toploto, = P = q V
• izračunali smo skupno moč, ki teče skozi sfero z radijem r: P = int j dS
• prmerjava pokaže, da sta moči enaki
• naloga 3.1.10: v elektronki s planparalelnima elektrodama je potencial sorazmeren z x^4/3; poišči električno polje in gostoto naboja v elektronki
• naloga 3.1.11: zapiši magnetno polje dolgega ravnega vodnika, po katerem teče tok, in pokaži, da je div B = 0
• z Amperovim zakonom smo poiskali velikost gostote magnetnega polja okrog dolge ravne žice
• smer polja smo zapisali z vektorskim produktom enotskega vektorja v smeri z in ravninskega vektorja do točke na razdalji r od vodnika
• zapisali smo enačbo za div B in pokazali, da je ta enaka 0
• naloga 3.1.12: račun gostote naboja iz električnega polja pri vodikovem atomu
• naloga je bila dana za domačo nalogo
• naloga 3.1.14 iz Rotorja: po ravnem vodniku teče električni tok; kakšno je magnetno polje znotraj in zunaj žice
• z Amperovim zakonom smo najprej poiskali gostoto magnetnega polja znotraj in zunaj vodnika ter narisali graf B(r) za r<R in r>R
• z vektorskim produktom smo poiskali smer magnetnega polja okrog dolgega ravnega vodnika
• poiskali smo rot H znotraj in zunaj žice in pokazali, da je rot H znotraj žice enak j_el, zunaj žice pa je enak 0
• naloga 3.1.15: podane so komponente magnetnega polja znotraj žice
• z rot H smo poiskali, kakšna je funkcija j_el(r) znotraj žice
• z integracijo j_el(r) po celotnem preseku vodnika smo poiskali celotni tok skozenj
• magnetno polje zunaj vodnika smo pojasnili s ponovno uporabo Amperovega zakona in pada kot 1/r – kot pri vsakem drugem vodniku
• naloga 3.1.16: zapiši magnetno polje dolgega ravnega vodnika, po katerem teče tok, in pokaži, da je div B = 0
• naloga je zelo podobna prejšnji, zato je bila dana za domačo nalogo

petek, 24. 11. 2017 – vaje, 3 ure:

• naloga 2.1.7: določi širino spektralne črte sinusnega nihanja, ki ga »vzorčimo« 10 nihajev
• čas t=0 smo rajši postavili na sredino 10 nihajev; s tem smo smo dosegli, da transformiramo simetrično (oz. antisimetrično) funkcijo glede na t=0, pri čemer se Fourierova transformiranka precej poenostavi
• k širini črte prispeva le člen, ki ima v imenovalcu 1/w-w₀

o slednja je tem manjša, čim dlje časa vzorčimo

• povedali smo, kako poimenujemo različne produkte med operatorjem nabla in vektorsko ali skalarno funkcijo
• naloga 3.1.1 iz Gradienta: poiskali smo gradient različnih skalarnih in vektorskih funkcij ter njihovih produktov
• poprava kolokvija:
• naloga 3.1.2: poiskali smo potencial v osi enakomerno nabite krožne zanke in poiskali električno poljsko jakost z računom gradienta potenciala
• naloga 3.1.3: povedali smo, kako zapišemo integral za izračun potenciala in prepustili nalogo za reševanje doma
• naloga 3.1.4: poišči elektirčno polje dipola tako, da najprej zapišeš potencial
• naloga 3.1.6 iz Divergence: pokaži, da je za točkast naboj div D = 0
• najprej smo zapisali velikost električnega polja točkastega naboja na razdalji r, nato smo mu dodali enotski smerni vektor
• povedali smo, da je D = epsilon epsilon0 E in poiskali divergenco

petek, 17. 11. 2017 – vaje, 2 uri:

• naloga 2.1.4: Fourierova analiza žagaste napetosti – nadaljevanje
• izračunali smo še koeficiente b_n ter komentirali nadaljevanje naloge, ki pa je zelo podobno, kot pri prejšnji
• naloga 2.1.5: Fourierova analiza napetosti, ki je daje usmerniški mostiček
• narisali smo časovni potek napetosti U = U₀ | sin w't |
• v Bronsteinovem matematičnem priročniku smo poiskali integral produktov sin in sin ter sin in cos in poiskali koeficiente a_n in b_n
• naloga 2.1.7: določi širino spektralne črte sinusnega nihanja, ki ga »vzorčimo« 10 nihajev
• sinusno funkcijo smo zapisali v kompleksnem in naredili Fourierov integral

petek, 17. 11. 2017 – 1. kolokvij

petek, 10. 11. 2017 – vaje, 3 ure:

• naloga 1.4.5: nihanje molekule CO₂
• narisali smo skico, napisali enačbe gibanja in jih z nastavkom prevedli na sistem navadnih linearnih enačb
• sistem smo zapisali v matrični obliki in zapisali karakteristično enačbo
• iskanje frekvenc in načinov nihanja je ostalo za prihodnjič
• poiskali smo vse tri lastne frekvence ter pripadajoče lastne vektorje (načine nihanja)
• zapisali smo rešitve (odmik v odvisnosti od časa) za vsak način nihanja posebej in povedali, da je končna rešitev vsota le-teh za posamezno nihalo
• naloga 2.1.1 iz Fourierova analiza: signal je od T/4 do T/2 enak Uo, sicer je enak 0
• ponovili smo vse bistvene enačbe, ki jih rabimo pri Fourierovem razvoju in računanju moči pri posamezni frekvenci
• poiskali smo splošni izraz za koeficiente a_n in b_n ter poiskali prvih pet od vsakih
• komentirali smo, katere frekvence nastopajo v spektru
• izračunali smo skupno moč in deleže, ki odpadejo na posamezno frekvenco (vključno z enosmerno komponento)
• narisali smo spekter moči
• naloga 2.1.4: Fourierova analiza žagaste napetosti
• poiskali smo izraz za koeficiente a_n
• računanje koeficientov b_n in nadaljevanje naloge je ostalo za prihodnjič

petek, 3. 11. 2017 – vaje, 3 ure:

• naloga 1.3.6: zaporedno vezane tuljavo, upor in kondenzator priključimo na napetost 100 V; kako se spreminjata tok in napetost na kondenzatorju
• zapisali smo začetna pogoja – tok skozi vezje je ob času enak nič (zaradi tuljave); začetni padec napetosti na tuljavi je enak napajalni napetosti
• zapisali smo nastavek za rešitev I(t)
• z integracijo smo poiskali spreminjanje napetosti na tuljavi in določili še drugo konstanto
• naloga 1.3.7 je bila dana za domačo nalogo
• naloga 1.4.2: dve uteži eno za drugo obesimo na strop preko vijačne vzmeti; kako nihata
• zapisali smo gibalno enačbo (2. Newtonov zakon) za vsako od obeh mas
• z nastavkom za rešitev smo sistem dveh sklopljenih diferencialnih enačb prevedli na sistem dveh navadnih enačb
• sistem smo zapisali v matrični obliki in poiskali lastni frekvenci in lastna vektorja za oba načina nihanja
• povedali smo, da je končna rešitev sestavljena iz superpozicije (vsote) rešitev za posamezni način nihanja

petek, 27. 10. 2017 – vaje, 3 ure:

• naloga 1.2.10: na stojalu na lahki vrvici visi kroglica; stojalo nenadoma premaknemo za neko razdaljo; kako niha kroglica; v danem trenutku stojalo z nihajočo kroglico premaknemo nazaj; kako niha kroglica
• povedali smo, da nihanje kroglice zelo preprosto zapišemo v novem koordinatnem sistemu premaknjenega stojala; začetna pogoja sta lega kroglice, ki je enaka minus premiku zrcala in začetna hitrost, ki je enaka nič
• ko stojalo premaknemo nazaj, sta začetna pogoja odmik, ki je enak prvotnemu premiku nihala, in hirost, ki je enaka v obeh koordinatnih sistemih
• naloga 1.2.11: na stojalu na vijačni vzmeti niha utež; v izbranem trenutku začnemo premikati stojalo navzgor z neko hitrostjo; kako niha kroglica
• nihanje kroglice najlaže zapišemo v novem koordinatnem sistemu, ki se giblje skupaj s stojalom
• povedali smo, da je začetni odmik v novem koordinatnem sistemu enak odmiku v staremu, začetna hitrost v novem koordinatnem sistemu pa je enaka minus hitrosti premikanja stojala
• naloga 1.3.2: na zračni drči miruje voziček; v nekem trenutku začne nanj delovati harmonična motnja; kakšno je gibanje vozička po zelo dolgem času; kako se giba voziček takoj od samega začetka delovanja motnje
• zapisali smo DE 2. reda za nihanje, ki je zdaj nehomogena
• poiskali smo, kako močno je dušenje, in zapisali nastavek za rešitev
• povedali smo, kako niha voziček po zelo dolgem času
• zapisali smo celotno rešitev – tudi za majhne čase
• naloga 1.3.5: na sinusno napetost priključimo zaporedno vezane upor, kondenzator in tuljavo; kakšna je efektivna napetost na kondenzatorju
• zapisali smo Kirchoffov zakon in z odvajanjem poiskali DE za omenjeno vezje
• zapisali smo končno rešitev in povedali, da po dolgem času lastno nihanje izzveni in preostane le vsiljeno nihanje
• naloga sicer ne sprašuje eksplicitno po stanju po dolgem času, kar je najbrž napaka
• povedali smo, kako iz rešitve za tok poiščemo napetost na tuljavi, uporu in kondenzatorju (za slednjega dva na načina – s Kirchoffovim zakonom in integracijo)
• nalogi 1.3.3 (kroglica na vzmeti v tekočini s harmonično motnjo) in 1.3.4 (nedušeno torzijsko nihalo s harmonično motnjo): rešitvi smo nakazali samo z besedami

petek, 20. 10. 2017 – vaje, 3 ure:

• naloga 1.2.4: voziček, ki niha na zračni drči in ga zavira sila upora
• zapisali smo 2. Newtonov zakon in izpeljali diferencialno enačbo za dušeno nihanje
• z izračunom omega0 in beta smo ugotovili, ali je dušenje podkritično, nadkritično ali kritično
• poiskali smo ustrezen nastavek za rešitev ter z robnimi pogoji poiskali konstante
• narisali smo graf odmika, ki je produkt sinusnega nihanja in eksponentno padajoče ovojnice
• pokazali smo video mosta, ki se podre zaradi premajhnega dušenja in omenili še primer kritičnega dušenja pri avtomobilskih amortizerjih
• naloga 1.2.5: voziček, ki dušeno niha na zračni drči
• poiskali smo rešitve za primera b) in c)
• naloga 1.2.6: voziček, ki je na zračni drči nadkritično dušen
• uporabili smo nastavek za nadkritično dušenje, poiskali konstanti iz robnih pogojev
• narisali smo možne grafe pri nadkritičnem dušenju
• naloga 1.2.2: dušilko in nabit kondenzator vežemo zaporedno; kako se spreminja tok v vezju in napetost na kondenzatorju
• zapisali smo diferencialno enačbo ter poiskali nihajni čas
• povedali smo, da je tok v vezju ob času t=0 enak nič (ker je napetost na dušilki enaka 0)
• poiskali smo tok kot funkcijo časa in narisali graf
• poiskali smo še napetost na kondenzatorju kot funkcijo časa in narisali graf v isti koordinatni sistem
• naloga 1.2.8: zaporedno vežemo dušilko, kondenzator in upor
• zapisali smo diferencialno enačbo za dušeno nihanje in povedali, da tok v vezju s »prazno« dušilko ne more začeti naraščati s hitrostjo, večjo od 0
• poiskali smo tok v odvisnosti od časa in narisali graf
• poiskali smo tudi napetosti na uporu, tuljavi in kondenzatorju ter narisali grafe
• naloga 1.2.3: nitno (matematično) nihalo – kroglica na vrvici
• zapisali smo gibalno enačbo in jo rešili v približku majhnih amplitud
• poiskali frekvenco nihanja in zapisali nastavek za rešitev
• povedali smo, da rešitev lahko zapišemo v enotah kota ali enotah odmika (metrih)
• upoštevaje začetne pogoje smo poiskali konstanti pred sin in cos ter poiskali amplitudo in fazo glede na nihalo, ki bi ga istočasno spustili
• narisali smo graf odmika kot funkcija časa za obe nihali

petek, 13. 10. 2017 – vaje, 3 ure:

• naloga 1.1.10: živila, ki jih damo v hladilnik in ga vključimo; hladilnik enkrat deluje s konstantno močjo, drugič se mu moč hlajenja spreminja
• narisali smo skico, zapisali enačbo za toplotna tokova in spremembo notranje energije ter prišli do diferencialne enačbe za T
• za reševanje DE smo uvedli novo spremenljivko R = T₀ – T
• nalogo smo najprej rešili pri konstantni moči hladilnika
• povedali smo, da je rešitev nehomogene DE linearna kombinacija rešitve homogenega dela in partikularne rešitve
• poiskali smo homogeni del rešitve, ki je za NDE 1. reda eksponentna funkcija
• partikularno rešitev smo poiskali z »ugibanjem«
• izračunali smo, po kolikšnem času temperaturna razlika doseže 90 % končne in narisali graf R(t)
• v drugem delu smo narisali graf moči hladilnika v odvisnosti od časa in zapisali (linearno) enačbo zanjo
• partikularno rešitev smo poiskali z metodo variacije konstante
• narisali smo graf spreminjanja temperature od časa in povedali, v katerem časovnem območju je rešitev smiselna
• naloga 1.2.1 iz NDE 2. reda: voziček, ki drsi po podlagi brez trenja, je z vzmetno pripet na rob; kakšno je njegovo gibanje
• zapisali smo gibalno enačbo (2. Newtonov zakon) in povedali, da je njena rešitev linearna kombinacija sin in cos funkcije
• za različne robne pogoje smo rešili točki a in b; zapisali smo tudi amplitudo
• pri točki c smo poiskali rešitev in povedali, da lahko harmonično nihanje zapišemo tudi z eno samo kotno funkcijo, pred katero je amplituda, in faznim zamikom
• povedali smo, kako se zapiše amplitudo, kadar je nastavek za rešitev linearna kombinacija sinusa in kosunusa

petek, 6. 10. 2017 – vaje, 3 ure:

• nalogi 1.1.1 in 1.1.2 iz NDE 1. reda: enačbe za praznjenje in polnjenje kondenzatorja
• narisali smo splošno vezje za polnjenje kondenzatorja, zapisali DE ter jo poimenovali
• z drugimi začetnimi pogoji smo z integracijo rešili DE za polnjenje kondenzatorja pri U_g = konst. ter narisali grafa toka ter napetosti na kondenzatorju in uporu
• poiskali smo rešitev za konstantno naraščajočo napetost (U_g = kt) – še vedno z integracijo – in narisali grafa toka in napetosti na kondenzatorju kot funkcijo časa
• za praznjenje kondenzatorja smo povedali, da je DE enaka kot pri polnjenju, le da je U_g = 0, in jo rešili z integracijo; zapisali smo tudi enačbo za tok in napetost na kondenzatorju ter narisali graf
• naloga 1.1.3: spreminjanje toka skozi dušilko, priključeno prek upora na izvir konstantne napetosti
• najprej smo poveali, kako pridemo do nastavka za napetost na dušilki (oz. kako je napetost na dušilki povezana z induktivnostjo in spremembo toka skoznjo)
• narisali smo vezje in zapisali DE, ki je že v začetku nehomogena
• zapisali smo nastavek za rešitev I(t), ki je sestavljena iz homogenega in partikularnega dela
• partikularno rešitev smo poiskali z »ugibanjem« - povedali smo kakšna je običajno partikularna rešitev pri navadnih NDE 1. reda
• poiskali smo tudi U_L(t) in narisali grafe