Matematične metode v fiziki 2: dnevnik vaj

sreda, 22. 1. 2020 – 3. kolokvij (predvidoma)

petek, 17. 1. 2020 – vaje, 3 ure:

• naloga 4.1.10: majhne kroglice padajo na vodoravno ležeč tog valj in se odbijajo; kakšna je porazdelitev kroglic po kotu odklona
• zapisali smo potrebne zveze in nalogo rešili do konca
• naloga 4.2.1 iz Binomske in Poissonove porazdelitve: pokvarjene žarnice; izberemo 50 žarnic na slepo; kolikšna je verjetnost da jih je določen odstotek pokvarjenih
• naloga 4.2.3: žitna mešanica zrna; kolikšna je napaka podatka
• naloga 4.2.9: test z 9 abc vprašanji; kolikšna je verjetnost, da ga študent opravi, ne da bi se učil
• naloga 4.2.2: tovarna izdeluje tranzistorje, od katerih je nek delež slabih; kolikšna je verjetnost, da bo med 100 izbranimi manj kot 8 % slabih
• zapisali smo enačbo za verjetnost z vsoto verjetnosti, kjer je preveč členov za računanje »peš«
• pokazali, kako pri velikih n preidemo na Gaussovo porazdelitev z izračunom Gaussovega integrala
• za računanje Gaussovega integrala smo se naučili uporabljati tablice
• naloga 4.2.4: imamo 3,5 % delež deklic z imenom Lana; kolikšna je verjetnost, da med 15 deklicami ni nobene Lane in da jih je med 300 vsaj 10
• pri drugem vprašanju smo računanje verjetnosti prevedli na Gaussov integral
• naloga 4.2.6: po cesti pripelje določeni število avtov na uro; kakšna je verjetnost, da se jih nabere več kot določeno število v določenem času pri rdečem semaforju
• pokazali smo, kako lahko katerokoli porazdelitev (binomsko ali Poissonovo) za velike n aproksimiramo z Gaussovo in računanjem Gaussovega integrala
• naloga 4.2.13: naparevanje zlata na zlate kontakte; tudi to nalogo smo rešili s prevedbo na Gaussov integral
• naloga 4.2.14: radioaktivni atomi v plinski zmesi

petek, 10. 1. 2020 – vaje, 3 ure:

• naloga 4.1.1 iz Porazdelitev: izračunaj x povprečni in sigma za pošteno kocko
• naloga 4.1.2: izračunaj x povprečni in sigma za enakomerno porazdelitev
• naloga 4.1.3: izračunaj x povprečni in sigma za eksponentno porazdelitev
• naloga 4.1.5: merjenje težnega pospeška z neko porazdelitvijo kroglice po hitrosti; kakšna je porazdelitev po pospešku, kakšen je povprečni pospešek
• naloga 4.1.9: vzporeden curek svetlobe pada na stekleno kroglo; kako so žarki porazdeljeni po lomnem kotu beta
• naloga 4.1.10: majhne kroglice padajo na vodoravno ležeč tog valj in se odbijajo; kakšna je porazdelitev kroglic po kotu odklona
• narisali smo skico in označili kote
• reševanje naloge je ostalo za prihodnjič

sreda, 18. 12. 2019 – 2. kolokvij

petek, 20. 12. 2019 – vaje, 3 ure:

• naloga 3.2.4: kondenzator je izpolnjen z dielektrikom; kakšen je temperaturni profil znotraj dielektrika

o poiskali smo še temperaturni profil v dielektriku za primer, ko je desna plošča izolirana

• naloga 3.2.7: človek kot valj z izolacijo; kolikšna je temperatura kože; kako debela mora biti obleka, da človeka ne zebe
• naloga 3.2.6: bakrena cev, po kateri teče tok, je zunaj izolirana, znotraj pa teče voda; kolikšna je razlika temperature med notranjim in zunanjim radijem cevi
• naloga 3.2.12: toplotni izviri so enakomerno porazdeljeni znotraj polovice radija Zemlje; poznamo temperaturni gradient na površju in temperaturo; kolikšna je temperatura v središču Zemlje
• narisali smo skico, zapisali Poissonovo enačbo za notranjost Zemlje in poiskali rešitev
• upoštevanje smo robne pogoje ter poiskali še temperaturni profil za Zemljino skorjo

petek, 13. 12. 2019 – vaje, 3 ure:

• naloga 3.1.14 iz Rotorja: po ravnem vodniku teče električni tok; kakšno je magnetno polje znotraj in zunaj žice
• poiskali smo še rot H = j_el znotraj žice
• naloga 3.1.15: podane so komponente magnetnega polja znotraj žice
• z rot H smo poiskali, kakšna je funkcija j_el(r) znotraj žice
• z integracijo j_el(r) po celotnem preseku vodnika smo poiskali celotni tok skozenj
• magnetno polje zunaj vodnika smo pojasnili s ponovno uporabo Amperovega zakona in pada kot 1/r – kot pri vsakem drugem vodniku
• naloga 3.1.16: zapiši magnetno polje dolgega ravnega vodnika, po katerem teče tok, in pokaži, da je div B = 0
• naloga je zelo podobna prejšnji, zato je bila dana za domačo nalogo
• naloga 3.2.1 iz PDE: električno polje enakomerno nabite (izolatorske) krogle
• izračunali smo ga z Gaussovim zakonom znotraj krogle in zunaj krogle
• iskanje polja z Laplaceovim operatorjem je ostalo za prihodnjič
• naloga 3.2.2: isto kot prejšnja naloga, a za enakomerno nabito žico; naloga je bila dana za domačo nalogo

• naloga 3.2.4: kondenzator je izpolnjen z dielektrikom; kakšen je temperaturni profil znotraj dielektrika

o gostoto toplotnih izvirov, ki je homogena, smo izrazili z napetostjo, specifično upornostjo in dimenzijami kondenzatorja

o s Poissonovo enačbo smo poiskali temperaturni profil in narisali graf

ponedeljek, 9. 12. 2019 – vaje, 2 uri:

• naloga 3.1.10: v elektronki s planparalelnima elektrodama je potencial sorazmeren z x^4/3; poišči električno polje in gostoto naboja v elektronki
• naloga 3.1.11: zapiši magnetno polje dolgega ravnega vodnika, po katerem teče tok, in pokaži, da je div B = 0
• z Amperovim zakonom smo poiskali velikost gostote magnetnega polja okrog dolge ravne žice
• smer polja smo zapisali z vektorskim produktom enotskega vektorja v smeri z in ravninskega vektorja do točke na razdalji r od vodnika
• zapisali smo enačbo za div B in pokazali, da je ta enaka 0
• naloga 3.1.14 iz Rotorja: po ravnem vodniku teče električni tok; kakšno je magnetno polje znotraj in zunaj žice
• z Amperovim zakonom smo najprej poiskali gostoto magnetnega polja znotraj in zunaj vodnika ter narisali graf B(r) za r<R in r>R
• z vektorskim produktom smo poiskali smer magnetnega polja okrog dolgega ravnega vodnika
• poiskali smo rot H znotraj in zunaj žice in pokazali, da je rot H = j_el zunaj žice pa je enak 0
• iskanje rot H znotraj žice je ostalo za prihodnjič

petek, 6. 12. 2019 – vaje, 3 ure:

• naloga 3.1.2: poiskali smo potencial v osi enakomerno nabite krožne zanke in poiskali električno poljsko jakost z računom gradienta potenciala
• naloga 3.1.3: poiskali smo potencial enakomerno naelektrene daljice in poiskali električno poljsko jakost na osi x z računom gradienta potenciala
• naloga 3.1.4: s Taylorjevim razvojem smo poiskali električni potencial električnega dipola in nato z gradientom poiskali električno polje
• naloga 3.1.6 iz Divergence: pokaži, da je za točkast naboj div D = 0
• najprej smo zapisali velikost električnega polja točkastega naboja na razdalji r, nato smo mu dodali enotski smerni vektor
• povedali smo, da je D = epsilon epsilon0 E in pokazali, da je divergenca enaka 0 povsod, razen v r=0
• naloga 3.1.7: pokaži, da je div D = 0 tudi za polje enakomerno nabite žice in ravnine
• z Gaussovim zakonom smo poiskali električno polje enakomerno nabite žice in za pokazali, da je divergenca enaka 0 povsod, razen v r=0
• naloga 3.1.9: pokaži, da velja kontinuitetna enačba za toploto, če vzamemo, da so po notranjosti Zemlje toplotni izviri enakomerno porazdeljeni in da je stanje stacionarno

petek, 29. 11. 2019 – vaje, 3 ure:

• poprava kolokvija
• naloga 2.1.5: Fourierova analiza napetosti, ki je daje usmerniški mostiček
• v Bronsteinovem matematičnem priročniku smo poiskali še integral produkta sin in sin ter poiskali koeficiente b_n
• izračunali smo povprečno moč, ki se troši na porabniku
• iskanje koeficientov a_n smo pustili za domačo nalogo
• naloga 2.1.7: določi širino spektralne črte sinusnega nihanja, ki ga »vzorčimo« 10 nihajev

o sinusno funkcijo smo zapisali v kompleksnem in naredili Fourierov integral

• čas t=0 smo rajši postavili na sredino 10 nihajev; s tem smo smo dosegli, da transformiramo simetrično (oz. antisimetrično) funkcijo glede na t=0, pri čemer se Fourierova transformiranka precej poenostavi
• k širini črte prispeva le člen, ki ima v imenovalcu 1/w-w₀
• slednja je tem manjša, čim dlje časa vzorčimo
• povedali smo, kako poimenujemo različne produkte med operatorjem nabla in vektorsko ali skalarno funkcijo
• naloga 3.1.1 iz Gradienta: poiskali smo gradient različnih skalarnih in vektorskih funkcij ter njihovih produktov

petek, 22. 11. 2019 – vaje, 3 ure:

• naloga 2.1.1 iz Fourierova analiza: signal je od T/4 do T/2 enak Uo, sicer je enak 0
• ponovili smo vse bistvene enačbe, ki jih rabimo pri Fourierovem razvoju in računanju moči pri posamezni frekvenci
• poiskali smo splošni izraz za koeficiente a_n in b_n ter poiskali prvih pet od vsakih
• komentirali smo, katere frekvence nastopajo v spektru
• izračunali smo skupno moč in deleže, ki odpadejo na posamezno frekvenco (vključno z enosmerno komponento)
• narisali smo spekter moči
• naloga 2.1.4: Fourierova analiza žagaste napetosti
• poiskali smo izraz za koeficiente a_n in b_n
• komentirali smo nadaljevanje naloge, ki pa je zelo podobno, kot pri prejšnji
• naloga 2.1.5: Fourierova analiza napetosti, ki je daje usmerniški mostiček
• pojasnili smo delovanje usmerniškega mostiča; reševanje naloge je ostalo za prihodnjič
• narisali smo časovni potek napetosti U = U₀ | sin w't |
• v Bronsteinovem matematičnem priročniku smo poiskali integral produkta sin in cos
• iskanje koeficientov je ostalo za prihodnjič

sreda, 20. 11. 2019 – 1. kolokvij

petek, 15. 11. 2019 – vaje, 3 ure:

• naloga 1.4.2: dve uteži eno za drugo obesimo na strop preko vijačne vzmeti; kako nihata
• zapisali smo gibalno enačbo (2. Newtonov zakon) za vsako od obeh mas
• z nastavkom za rešitev smo sistem dveh sklopljenih diferencialnih enačb prevedli na sistem dveh navadnih enačb
• sistem smo zapisali v matrični obliki
• in poiskali lastni frekvenci in lastna vektorja za oba načina nihanja
• povedali smo, da je končna rešitev sestavljena iz superpozicije (vsote) rešitev za posamezni način nihanja
• naloga 1.4.5: nihanje molekule CO₂
• narisali smo skico, napisali enačbe gibanja in jih z nastavkom prevedli na sistem navadnih linearnih enačb
• sistem smo zapisali v matrični obliki in zapisali karakteristično enačbo
• iskanje frekvenc in načinov nihanja je ostalo za prihodnjič
• poiskali smo vse tri lastne frekvence ter pripadajoče lastne vektorje (načine nihanja)
• zapisali smo rešitve (odmik v odvisnosti od časa) za vsak način nihanja posebej in povedali, da je končna rešitev vsota le-teh za posamezno nihalo

petek, 8. 11. 2019 – vaje, 3 ure:

• naloga 1.2.10: na stojalu na lahki vrvici visi kroglica; stojalo nenadoma premaknemo za neko razdaljo; kako niha kroglica; v danem trenutku stojalo z nihajočo kroglico premaknemo nazaj; kako niha kroglica
• povedali smo, da nihanje kroglice zelo preprosto zapišemo v novem koordinatnem sistemu premaknjenega stojala; začetna pogoja sta lega kroglice, ki je enaka minus premiku zrcala in začetna hitrost, ki je enaka nič
• ko stojalo premaknemo nazaj, sta začetna pogoja odmik, ki je enak prvotnemu premiku nihala, in hirost, ki je enaka v obeh koordinatnih sistemih
• naloga 1.2.11: na stojalu na vijačni vzmeti niha utež; v izbranem trenutku začnemo premikati stojalo navzgor z neko hitrostjo; kako niha kroglica
• nihanje kroglice najlaže zapišemo v novem koordinatnem sistemu, ki se giblje skupaj s stojalom
• povedali smo, da je začetni odmik v novem koordinatnem sistemu enak odmiku v staremu, začetna hitrost v novem koordinatnem sistemu pa je enaka minus hitrosti premikanja stojala
• naloga 1.3.6: zaporedno vezane tuljavo, upor in kondenzator priključimo na napetost 100 V; kako se spreminjata tok in napetost na kondenzatorju
• zapisali smo začetna pogoja – tok skozi vezje je ob času enak nič (zaradi tuljave); začetni padec napetosti na tuljavi je enak napajalni napetosti
• zapisali smo nastavek za rešitev I(t)
• z integracijo smo poiskali spreminjanje napetosti na tuljavi in določili še drugo konstanto
• naloga 1.3.8 na zaporedno vezano dušilko in kondenzator priključimo linearno naraščajočo napetost
• zapisali smo, kako narašča Ug in sugerirali partikularno rešitev
• reševanje naloge je prepuščeno za delo doma
• naloga 1.4.2: dve uteži eno za drugo obesimo na strop preko vijačne vzmeti; kako nihata
• zapisali smo gibalno enačbo (2. Newtonov zakon) za vsako od obeh mas
• z nastavkom za rešitev smo sistem dveh sklopljenih diferencialnih enačb prevedli na sistem dveh navadnih enačb
• sistem smo zapisali v matrični obliki in poiskali lastni frekvenci nihanja
• poiskali smo lastni vektor nihanja za eno lastno frekvenco
• iskanje drugega lastnega vektorja je ostalo za prihodnjič

ponedeljek, 4. 11. 2019 – vaje, 2 uri:

• naloga 1.3.3: mirujoče dušeno nihalo na vijačno vzmet; v nekem trenutku začne nanj delovati harmonična motnja
• zapisali smo 2. Newtonov zakon za nemoteno nihalo in prišli do homogene DE
• preverili smo stopnjo dušenja in DE rešili z danima začetnima pogojema
• ponovno smo zapisali 2. Newtonov zakon tokrat skupaj s harmonično motnjo
• v skriptah smo pokazali, kakšen je nastavek za rešitev pri nihalu s harmonično motnjo
• izpeljali smo amplitudo nihanja po zelo dolgem času
• naloga 1.3.4: nedušeno torzijsko nihalo s harmonično motnjo:
• zapisali smo Newtonov zakon za vrtenje in DE za torzijsko nihalo
• zapisali smo nastavek za rešitev in z upoštevanjem, da je nihalo nedušeno ter začetnima pogojema, zapisali odmik nihala ob vseh časih
• naloga 1.3.5: na sinusno napetost priključimo zaporedno vezane upor, kondenzator in tuljavo; kakšna je efektivna napetost na kondenzatorju
• zapisali smo Kirchoffov zakon in z odvajanjem poiskali DE za dano vezje
• povedali smo, kaj sta efektivna napetost in amplituda napetosti ter zvezo med njima
• zapisali smo končno rešitev in povedali, da po dolgem času lastno nihanje izzveni in preostane le vsiljeno nihanje
• iz rešitve za tok smo izpeljali efektivno napetost na kondenzatorju

petek, 25. 10. 2019 – vaje, 3 ure:

• naloga 1.2.8: zaporedno vežemo dušilko, kondenzator in upor
• z upoštevanjem začetnih pogojev smo poiskali tok v odvisnosti od časa in narisali graf
• poiskali smo tudi napetost na kondenzatorju
• naloga 1.2.3: nitno (matematično) nihalo – kroglica na vrvici
• zapisali smo gibalno enačbo in jo rešili v približku majhnih amplitud
• poiskali smo frekvenco nihanja in zapisali nastavek za rešitev
• povedali smo, da rešitev lahko zapišemo v enotah kota ali enotah odmika (metrih)
• upoštevaje začetne pogoje smo poiskali konstanti pred sin in cos
• povedali smo, kako dobimo amplitudo in fazo, kadar želimo rešitev v obliki linearne kombinacije sinusa in kosinusa zapisati samo s sinusno ali kosinusno funkcijo
• poiskali smo amplitudo nihanja in fazo glede na nihalo, ki bi ga istočasno spustili iz skrajne lege
• narisali smo graf odmika kot funkcija časa za obe nihali
• naloga 1.2.7: kroglico obesimo na vzmet in jo potopimo v viskozno tekočino; kako niha
• nalogo smo najprej rešili tako, da smo upoštevali, da sili teže in vzgona le premakneta mirovno lego, nihanje pa je potem enako okrog nove ravnovesne lege; pri tem smo v 2. Newtonovem zakonu ti dve sili izpustili
• drugič smo nalogo rešili tudi z upoštevanjem sil teže in vzgona, kar je privedlo do nehomogene DE
• izkaže se, da je partikularna rešitev le konstantni premik mirovne lege
• naloga 1.2.9: električno nabita kroglica iz jekla visi na vzmeti in niha; v trenutku, ko gre kroglica skozi ravnovesno lego, vključimo električno polje; kakšno je nihanje poslej
• glede na ponujen nastavek upoštevamo, da nam nova časovna neodvisna sila le premakne ravnovesno lego in fazo nihanja glede na prejšnje stanje
• poiskali smo, za koliko je nova mirovna lega premaknjena glede na staro
• nihanje smo zapisali v novem, premaknjenem koordinatnem sistemu z novimi začetnimi pogoji
• poiskali smo tudi fazni zamik glede na prvotno nihanje
• povedali smo, da je pri nalogi (glede na podano rešitev) bodisi električno polje bodisi naboj kroglice za faktor 10 premajhen

petek, 18. 10. 2019 – vaje, 3 ure:

• naloga 1.2.1 iz NDE 2. reda: voziček, ki drsi po podlagi brez trenja, je z vzmetjo pripet na rob; kakšno je njegovo gibanje
• rešili smo točke a, b in c; zapisali smo tudi amplitudo
• pri točki c smo povedali, kako se zapiše amplitudo, kadar je nastavek za rešitev linearna kombinacija sinusa in kosinusa
• naloga 1.2.4: voziček, ki niha na zračni drči in ga zavira sila upora
• z izračunom omega0 in beta smo ugotovili, ali je dušenje podkritično, nadkritično ali kritično
• z ustreznim nastavkom za rešitev smo rešili nalogo z danimi začetnimi pogoji
• narisali smo graf odmika, ki je produkt harmoničnega nihanja in eksponentno padajoče ovojnice
• naloga 1.2.6: voziček, ki je na zračni drči nadkritično dušen
• uporabili smo nastavek za nadkritično dušenje, poiskali konstanti iz začetnih pogojev
• narisali smo možne grafe pri nadkritičnem dušenju
• naloga 1.2.2: dušilko in nabit kondenzator vežemo zaporedno; kako se spreminja tok v vezju in napetost na kondenzatorju
• izpeljali smo splošno diferencialno enačbo za dušeno električno nihanje
• opozorili smo na analogijo med odmikom in hitrostjo pri mehanskem nihanju s tokom in napetostjo pri električnem nihanju
• povedali smo, da je tok v vezju ob času t=0 enak nič (ker je tok skozi dušilko ob tem času 0)
• poiskali smo tok kot funkcijo časa
• izpeljali smo si splošen nastavek za napetost v odvisnosti od časa in narisali graf I(t)
• na dva načina smo poiskali še napetost na kondenzatorju kot funkcijo časa in narisali graf
• naloga 1.2.8: zaporedno vežemo dušilko, kondenzator in upor
• preverili smo, za kakšno vrsto dušenja gre
• reševanje naloge je ostalo za prihodnjič

ponedeljek, 14. 10. 2019 – vaje, 2 uri:

• naloga 1.1.10: živila, ki jih damo v hladilnik in ga vključimo; hladilnik enkrat deluje s konstantno močjo, drugič se mu moč hlajenja spreminja
• v drugem delu smo narisali graf moči hladilnika v odvisnosti od časa in zapisali (linearno) enačbo zanjo
• partikularno rešitev smo poiskali z metodo variacije konstante
• narisali smo graf spreminjanja temperature od časa in povedali, v katerem časovnem območju je rešitev smiselna
• naloga 1.1.11: živila v hladilniku, kjer se spreminja zunanja temperatura – je bila dana za domačo nalogo
• naloga 1.2.1 iz NDE 2. reda: voziček, ki drsi po podlagi brez trenja, je z vzmetno pripet na rob; kakšno je njegovo gibanje
• zapisali smo splošno gibalno enačbo (2. Newtonov zakon) za dušeno nihanje in povedali vse možne rešitve za vse kombinacije dušenja (beta) in lastne frekvence nihanja (omega0)
• za konkretno nalogo, kjer ni dušenja, smo zapisali gibalno enačbo brez člena z dušenjem in povedali, da je njena rešitev linearna kombinacija sin in cos funkcije
• reševanje naloge za različne robne pogoje je ostalo za prihodnjič

petek, 11. 10. 2019 – vaje, 3 ure:

• naloga 1.1.3: spreminjanje toka skozi dušilko, priključeno prek upora na izvir konstantne napetosti
• poiskali smo tudi U_L(t) in narisali graf
• naloga 1.1.4: dušilko prek upora priključimo na linearno naraščajočo napetost
• naloga 1.1.6: vakuumska pumpa izsesava iz posode stalen prostorninski tok
• naloga 1.1.10: živila, ki jih damo v hladilnik in ga vključimo; hladilnik enkrat deluje s konstantno močjo, drugič se mu moč hlajenja spreminja
• narisali smo skico, zapisali enačbo za toplotna tokova in spremembo notranje energije ter prišli do diferencialne enačbe za T
• za reševanje DE smo uvedli novo spremenljivko R = T₀ – T
• nalogo smo najprej rešili pri konstantni moči hladilnika
• povedali smo, da je rešitev nehomogene DE linearna kombinacija rešitve homogenega dela in partikularne rešitve
• poiskali smo homogeni del rešitve, ki je za NDE 1. reda eksponentna funkcija
• partikularno rešitev smo poiskali z »ugibanjem«
• izračunali smo, po kolikšnem času temperaturna razlika doseže 90 % končne in narisali graf R(t)
• reševanje drugega dela, ko se moč hladilnika spreminja, je ostalo za prihodnjič

petek, 4. 10. 2019 – vaje, 3 ure:

• nalogi 1.1.1 in 1.1.2 iz NDE 1. reda: enačbe za praznjenje in polnjenje kondenzatorja
• narisali smo splošno vezje za polnjenje kondenzatorja, zapisali DE ter jo poimenovali
• z drugimi začetnimi pogoji smo z integracijo rešili DE za polnjenje kondenzatorja pri U_g = konst. ter narisali grafa toka ter napetosti na kondenzatorju in uporu
• povedali smo, kako se rešitev spremeni, če kondenzator na začetku ni prazen
• poiskali smo rešitev za konstantno naraščajočo napetost (U_g = kt) – še vedno z integracijo – in narisali grafa toka in napetosti na kondenzatorju kot funkcijo časa
• za praznjenje kondenzatorja smo povedali, da je DE enaka kot pri polnjenju, le da je U_g = 0, in jo rešili z integracijo; zapisali smo tudi enačbo za tok in napetost na kondenzatorju ter narisali graf
• naloga 1.1.3: spreminjanje toka skozi dušilko, priključeno prek upora na izvir konstantne napetosti
• najprej smo povedali, kako pridemo do nastavka za napetost na dušilki (oz. kako je napetost na dušilki povezana z induktivnostjo in spremembo toka skoznjo)
• narisali smo vezje in zapisali DE, ki je že v začetku nehomogena
• enačbo smo rešili z integraijo in narisali graf I(t)
• iskanje napetosti na dušilki in risanje grafa je ostalo za prihodnjič